psim言語講座 (第3回) M/M/1 シミュレーションを拡張してみる

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M/M/1 モデル

前回、M/M/1 モデルを psim で構築し、実行してみました。[プログラムはこちらからダウンロード]

M/M/1 モデルとは、同時に 1 つのみ行えるサービスに対し、ランダムに利用者が到着し、ランダムな時間サービスを利用するようなモデルの事でした。

今回は、そのコードの中身を詳しく読んで行こうと思います。

区役所モデル

M/M/1 モデルを拡張すれば、様々なシミュレーションを構築出来ます。

今回は、もう少し現実的な区役所モデルを作ってみます。

簡略化した区役所では、住民票、戸籍、印鑑証明が取得出来ます。

利用者は平均 60 秒で到着するとしますが、各利用者は以下の割り合いで サービスを利用します。

サービス 割り合い
住民票 0.6
戸籍 0.1
印鑑証明 0.3

サービスごとに、処理時間は異なり、書類発行には以下の時間を要します。

サービス 平均処理時間
住民票 3分
戸籍 4分
印鑑証明 2分

この時、平均待ち時間を 10 分以内になるように複数の窓口を準備しよう としています。窓口をどのぐらい用意すれば良いかシミュレーションして調べてみます。

では、具体的に区役所モデルのコードを見て行きたいと思います。

サービスの分布

サービスの分布は、psim の empiricalDistribution を使って表現できます。

具体的には以下のようにしてサービス種別を返す乱数生成器を作成しています。

    r = [0.6, 0.1, 0.3] # 住民票、戸籍、印鑑証明の割合
    ...
    # サービス種別(住民票、戸籍、印鑑証明)を返す乱数発生器
    gs = empiricalDistribution([(v, i) for i, v in enumerate(r)])

empiricalDistribution の引数はリストで、各要素は重みと値のタプルです。

この時、next(gs) は、指定された重みで、0(住民票), 1(戸籍), 2(印鑑 証明) を返します。

サービス時間の分布

サービス時間は、サービス毎に異なります。そのため、 exponentialDistribution のリストとして表現します。

具体的には以下のようにしてサービス時間を返す乱数生成器のリストを作成しています。

    m = [3 * 60, 4 * 60, 2 * 60] # 住民票、戸籍、印鑑証明のサービス時間
    ...
    # 各サービス時間を生成する乱数発生器
    gt = [exponentialDistribution(m0) for m0 in m]

この時、next(gt[s]) は、サービス s の処理時間を返します。

資源の定義

今回、窓口の数 ns は、可変とします。

そのため、ファシリティの定義を変更しています。

    # 窓口を示すファシリティ資源
    f = Facility(ns, monitor = True)

到着プロセス

到着プロセスは M/M/1 モデルとほぼ同じです。

    # 到着プロセス
    def arrive():
        while True:
            # 次の到着まで待つ
            yield pause(next(g1))
            # サービス種別を決定
            s = next(gs)
            # サービスプロセスを開始する
            # - この処理自体は非同期なので、一瞬で完了する
            yield subactivate(service)(s)

到着後に、サービス種別 s を決定し、サービスプロセスに s を伝えています。

サービスプロセス

サービスプロセスも M/M/1 モデルとほぼ同じです。

    def service(s):
        t0 = now()
        # 窓口の待ち行列に並ぶ
        # - 窓口を示すファシリティ資源の利用を予約する
        # - 既に利用者がいる場合は、利用可能になるまで待ち受ける
        lock = (yield f.request(name = "lock"))["lock"]
        # 窓口サービスを開始する
        # - 窓口を示すファシリティ資源の利用権を取得した
        # - 利用権を開放するまで他の利用者は利用できない
        t1 = now()
        # 待ち時間を記録
        monitor.observe(t1 - t0)
        # 窓口を利用する
        yield pause(next(gt[s]))
        # 窓口を示すファシリティ資源の利用権を開放する
        lock.release()

サービスプロセスを起動する時に、どのようなサービスなのかが引数 s に渡ってきます。

窓口の利用時間はサービス毎に違います。サービス s に対応したサービ ス時間は、next(gt[s]) として求まります。

結果をまとめる

まず、sim 関数は、窓口数 ns を受け取り、待ち時間とシステム内客数のタ プルを返す関数にしています。

以下のように、シミュレーションを回し、結果を pandas のデータフレーム 化しています。

result = []
for ns in range(1, 5):    
    waitingTime, queue = sim(ns)
    result.append([ns, waitingTime, queue])

df = pd.DataFrame(result, columns = ["窓口数", "待ち時間", "客数"])
print(df)

グラフ作成

以下のようにすると、結果を棒グラフで表示できます。

plt.rcParams['font.sans-serif'].insert(0, "Meiryo")
fig, ax = plt.subplots(1, 2)
ax[0].bar(df["窓口数"], df["待ち時間"])
ax[0].set_ylabel("待ち時間(秒)")
ax[0].set_xlabel("窓口数")
ax[1].bar(df["窓口数"], df["客数"])
ax[1].set_ylabel("客数(人)")
ax[1].set_xlabel("窓口数")
plt.tight_layout()
plt.show()

グラフ

まとめ

以上で、区役所モデルが作成できました。

区役所モデルは、こちらよりダウンロードできます。

S-Quattro Simulation System がインストールされている PC 上の適当な フォルダに上記 zip を展開下さい。

zip 内には、

  • cityoffice.py
  • cityoffice.bat

があります。cityoffice.py が区役所モデルを実装したコード例です。cityoffice.bat をそれを実行するための bat ファイルです。

実行結果は以下のようになりました。

窓口数 待ち時間 客数
1 33416.37秒 552.21人
2 15054.23秒 252.65人
3 520.40秒 11.66人
4 64.66秒 3.84人

つまり、平均待ち時間を 10 分以内になるようにするには、窓口を 3 つ用意すれ ば良いという事になります。

このように M/M/1 モデルを拡張していけば、より現実的なシミュレーショ ンを行える事がお分かりになったでしょうか。

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